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Nessuna.
MAT/03 Geometria.
Prova orale.
Il fine del corso è quello di fornire un’introduzione ai temi principali della topologia algebrica: costruire invarianti di tipo algebrico per lo studio di oggetti geometrici quali i poliedri e le varietà topologiche. Si discuteranno i risultati più importanti in tali ambiti illustrando le principali tecniche di dimostrazione e di risoluzione dei problemi.
Successioni esatte e quasi esatte di gruppi, ed omomorfismi. Gruppi graduati. Categorie e funtori. Omotopia tra funzioni continue e tra spazi topologici. Omotopia relativa. Retratti e retratti di deformazione. Spazi contraibili. Richiami sulle nozioni di connessione per cammini e di gruppo fondamentale di uno spazio puntato. Spazi semplicemente connessi. Complessi simpliciali. Complessi orientati. Poliedri, triangolazioni e suddivisioni. Applicazioni simpliciali. Teorema di approssimazione simpliciale. Complessi di catene. Applicazioni di catene e loro omotopia. Omologia di un complesso di catene. I funtori omologia simpliciale e singolare. Isomorfismo tra l’omologia simpliciale e l’omologia singolare di un poliedro. Invarianza omotopica del funtore omologia. Assioma della dimensione per l’omologia. Omologia relativa. Successione esatta di omologia. Successione di Mayer-Vietoris e sua applicazione al calcolo dei gruppi di omologia delle sfere. Escissione. Relazione tra il gruppo fondamentale e il gruppo di omologia di dimensione uno. Teoremi di Brouwer del punto fisso e di invarianza della dimensione. Omomorfismi indotti in omologia da particolari applicazioni sulla sfera. Campi di vettori tangenti ad una sfera di dimensione dispari. Grado di un’applicazione di una sfera in sé e sue conseguenze. Caratteristica di Eulero-Poincaré di un poliedro e sua invarianza topologica. Varietà topologiche con e senza bordo: dimensione locale e dimensione, proprietà di omogeneità. Superfici orientabili e non. Superfici notevoli: sfera, toro, piano proiettivo, nastro di Möbius, bottiglia di Klein. Somma connessa. Enunciato del teorema di Radò. Proprietà particolari della triangolazione di una superficie orientabile. Teorema di classificazione delle superfici chiuse e connesse per mostrare che in questo caso l’orientabilità e la caratteristica di Eulero sono invarianti totali.
Al termine dell’insegnamento, lo studente deve dimostrare di
Conoscenze e competenze acquisite sui temi del corso, la capacità di esposizione e proprietà di linguaggio dello studente, l’abilità nell’applicare le conoscenze acquisite alla soluzione di semplici problemi, la capacità di integrare una discussione con esempi e controesempi, la padronanza degli strumenti matematici utilizzati nel corso.
