Geometria Differenziale

Crediti

Propedeuticità

Nessuna.

Settore scientifico-disciplinare

MAT/03 Geometria.

Modalità dell’esame

Prova orale.

Obiettivi
formativi

L’obiettivo del corso è fornire una introduzione allo studio di alcune strutture su varietà differenziabili: principalmente connessioni sul fibrato tangente, metriche Riemanniane e pseudo-Riemanniane. Si forniranno gli strumenti fondamentali per lo studio di tali varietà, si discuteranno i risultati più importanti, e s’illustreranno le principali tecniche di dimostrazione, e di risoluzione dei problemi.

Programma

(i) Carte e atlanti, strutture differenziabili, topologia indotta da un atlante, varietà differenziabili. Applicazioni differenziabili. Vettori tangenti e cotangenti. Mappa tangente. Differenziale di una funzione. Campi vettoriali. Riferimenti locali. Tensori e campi tensoriali. Forme differenziali. Prodotto esterno. (ii) Varietà (pseudo-) Riemanniane. Esempi: spazi Euclidei, piano iperbolico, disco di Poincaré, sfere. Sottovarietà e restrizione di una metrica. Teorema di esistenza di metriche Riemanniane. Isometrie e trasformazioni conformi. Riferimenti locali ortonormali. Gradiente, divergenza, rotore, laplaciano. Cenni su integrazione. Teorema della divergenza e identità di Green. (iii) Connessioni lineari: esistenza, simboli di Christoffel, torsione, curvatura, 1^a identità di Bianchi. Geodetiche e trasporto parallelo. Il campo geodetico. L’applicazione esponenziale. (iv) Connessione di Levi-Civita e geodetiche Riemanniane. Formula di Koszul. Coordinate normali. La distanza Riemanniana. Curve minimizzanti e localmente minimizzanti. Formula per la variazione prima della lunghezza d’arco. Varietà geodeticamente complete. Teorema di Hopf-Rinow. (v) Tensore di Riemann della connessione di Levi-Civita; 2^a identità di Bianchi; invarianza per isometrie locali. Tensore di Ricci e curvatura scalare. Varietà piatte. Tensore di Weyl e varietà conformemente piatte; caratterizzazione. Curvatura sezionale. Varietà con curvatura sezionale costante. Cenno ai teoremi di Killing-Hopf e Cartan-Hadamard.

Risultati dell’apprendimento
attesi

Al termine dell’insegnamento, lo studente deve dimostrare di

conoscere e comprendere gli elementi fondamentali della geometria differenziale e delle sue tecniche dimostrative;
saper applicare le conoscenze acquisite allo studio e alla risoluzione di esempi concreti;
saper comunicare in maniera chiara, rigorosa ed efficace idee e soluzioni a interlocutori specialisti e non specialisti;
saper individuare i metodi più appropriati per analizzare e risolvere un problema inerente gli argomenti del corso e interpretare correttamente i risultati.

Risultati di apprendimento
che si intende verificare

Conoscenze e competenze acquisite sui temi del corso, la capacità di esposizione e proprietà di linguaggio dello studente, l’abilità nell’applicare le conoscenze acquisite alla soluzione di semplici problemi, la capacità di integrare una discussione con esempi e controesempi, la padronanza degli strumenti matematici utilizzati nel corso.

Geometria Differenziale