Logica e Fondamenti di Matematica

Logica e Fondamenti di Matematica

Crediti

6

Propedeuticità

Algebra 1, Geometria 1.

Settore scientifico-disciplinare

MAT/04 Matematiche Complementari.

Modalità dell’esame

Prova orale.

Obiettivi
formativi

Acquisizione di una visione storico-critica delle teorie e dei metodi della matematica, con particolare riguardo alle versioni “ingenua” ed assiomatica della teoria degli insiemi. Comprensione delle problematiche relative alla nozione di infinito. Introduzione ai concetti fondamentali della logica classica, al ruolo della logica nella matematica e ai suoi rapporti con la lingua naturale.

Programma

Dalla teoria ingenua degli insiemi alla crisi dei fondamenti, alla teoria assiomatica. Gli assiomi della teoria ZF. Numeri ordinali e cardinali. Costruzione dei numeri naturali come ordinali finiti e come elementi di una terna di Peano. Induzione e ricorrenza sui naturali e sugli ordinali. Insiemi finiti e infiniti e problematica storico-epistemologica dell’infinito. L’assioma della scelta. L’assioma di fondazione e l’universo U degli insiemi. Cenni ad alcuni sviluppi più recenti. Concetti e risultati fondamentali della logica classica delle proposizioni e dei predicati: linguaggio formale, sintassi/semantica, dimostrazioni, modelli, ecc.

Risultati dell’apprendimento
attesi

Al termine dell’insegnamento lo studente deve dimostrare di

  • conoscere e comprendere i problemi riguardanti i fondamenti della matematica, in particolare quelli che hanno portato alla formulazione e allo sviluppo della teoria ZF degli insiemi e della logica classica o possibili alternative;
  • deve saper applicare le conoscenze acquisite alla risoluzione di problemi utilizzando un linguaggio formale matematico per descrivere assiomi ed i principali risultati della teoria ZF, nonché della logica proposizionale e del calcolo dei predicati;
  • saper comunicare in maniera chiara, rigorosa ed efficace idee e soluzioni a interlocutori specialisti e non specialisti;
  • saper individuare i metodi più appropriati per analizzare e risolvere un problema inerente gli argomenti del corso e interpretare correttamente i risultati.

Risultati di apprendimento
che si intende verificare

Correttezza formale e completezza nell’esposizione degli argomenti dell’insegnamento. Capacità di riconoscere flessibilmente l’utilizzo della teoria degli insiemi e dell’apparato formale della logica classica nei diversi settori della matematica.