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Nessuna.
MAT/05 Analisi Matematica.
Prova orale.
Il corso intende fornire gli elelmenti di base della teoria classica delle equazioni di Poisson, del calore e delle onde e un’introduzione abbastanza dettagliata alle funzioni di Sobolev e alla teoria delle soluzioni deboli delle equazioni ellittiche.
Equazione di Laplace: soluzione fondamentale e potenziale newtoniano. Funzioni armoniche: teorema della media, principio del massimo, teorema di Liouville, disuguaglianza di Harnack, lemma di Weyl, e analiticità delle funzioni armoniche. Unicità delle soluzioni dei problema di Dirichlet e di Neumann. La funzione di Green. Calcolo esplicito della funzione di Green nel semispazio e nella palla. Il principio di Dirichlet. Equazione del calore: soluzione fondamentale, teorema della media e principio del massimo. Unicità e unicità nel passato. Metodi energetici. Equazione del trasporto. Equazione delle onde. Formula risolutiva in dimensione 1, 2 e 3. Cono caratteristico e velocità finita di propagazione. Metodi energetici. Il metodo di separazione delle variabili e sua applicazione alla risoluzione dell’equazioni di Poisson, del calore e dei mezzi porosi. Trasformata di Fourier e applicazioni alla risoluzione dell’equazione di Poisson, del calore, delle onde e del telegrafo. Trasformata di Laplace e applicazioni. Spazi di Sobolev: definizioni e prime proprietà, H=W, approssimazione con funzioni regolari, domini di estensione, tracce, immersioni e immersioni compatte, disuguaglianza di Poincaré. Soluzione debole di un’equazione ellittica. Esistenza delle soluzioni deboli e loro regolarità. Operatori compatti. Teoria di Fredholm. Autovalori e spettro di un operatore compatto. Autovalori del laplaciano.
Al termine dell’insegnamento, lo studente deve dimostrare di
Padronanza delle conoscenze, chiarezza nell’esposizione, rigore nell’uso del linguaggio, disinvoltura nell’uso delle nozioni acquisite.
