Dipartimento di Matematica e Applicazioni
"Renato Caccioppoli"


Complementi di Analisi Matematica

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Complementi di Analisi Matematica

Crediti

6

Propedeuticità

Analisi Matematica 2.

Settore scientifico-disciplinare

MAT/05 Analisi Matematica.

Modalità dell’esame

Prova orale.

Obiettivi
formativi

Il corso intende fornire un’introduzione alla teoria delle funzioni di variabile complessa. Si sviluppano proprietà analitiche e geometriche delle funzioni di variabile complessa con particolare riguardo alle applicazioni nella teoria delle equazioni a derivate parziali, come l’equazione di Laplace.

Programma

Forma algebrica, geometrica ed esponenziale del numero complesso. Radici ennesime di un numero complesso. Funzioni olomorfe ed equazioni di Cauchy-Riemann. Analiticità delle funzioni olomorfe. Sviluppi in serie di Laurent e classificazione dei punti singolari isolati. Il teorema dei residui. Zeri di una funzione olomorfa. Teorema dell’applicazione aperta. Proprietà di media e principio del massimo modulo. Calcolo di integrali di funzioni a valori reali mediante il teorema dei residui. Trasformazioni conformi. Teoria delle distribuzioni. Sviluppo in serie di Fourier. Proprietà delle funzioni armoniche – Principio di massimo e proprietà di media. Soluzione fondamentale dell’operatore di Laplace. Identità di Green. La funzione di Green. Il problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace nella sfera: formula integrale di Poisson. Caratterizzazione delle funzioni armoniche. Risoluzione del problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace in domini del piano semplicemente connessi.

Risultati dell’apprendimento
attesi

Al termine dell’insegnamento, lo studente deve dimostrare di

  • conoscere e comprendere le problematiche generali relative alle funzioni di variabile complessa;
  • saper applicare le conoscenze acquisite allo studio di alcuni problemi alle derivate parziali con particolare riguardo all’equazione di Laplace;
  • saper comunicare in maniera chiara, rigorosa ed efficace idee e soluzioni a interlocutori specialisti e non specialisti;
  • saper individuare i metodi più appropriati per analizzare e risolvere un problema inerente gli argomenti del corso e interpretare correttamente i risultati.

Risultati di apprendimento
che si intende verificare

Padronanza delle conoscenze, chiarezza nell’esposizione, rigore nell’uso del linguaggio, disinvoltura nell’uso delle nozioni acquisite.