Fondamenti di Analisi Superiore (mod. 2)

Fondamenti
di Analisi Superiore (mod. 2)

Crediti

6

Propedeuticità

Nessuna.

Modalità dell’esame

Superamento di un esame integrato, eventualmente articolato in più prove, sui contenuti di Fondamenti di Analisi Superiore mod. 1 e Fondamenti di Analisi Superiore mod. 2

Obiettivi
formativi

Il corso intende fornire alcuni strumenti indispensabili dell’Analisi Matematica: la teoria dell’integrazione secondo Lebesgue, le serie e le trasformate di Fourier, i primi rudimenti di Analisi Funzionale.

Contenuti

Approfondimenti della variabile complessa, funzioni olomorfe e funzioni analitiche, equazioni di Cauchy-Riemann, teoremi di Cauchy, teoria dei residui. Approfondimenti della teoria della misura: costruzione della misura di Lebesgue in Rn e dimostrazione delle sue principali proprietà (regolarità interna ed esterna, invarianza per rototraslazioni). Esempi di insiemi non misurabili. Approfondimenti delle misure astratte e teoria dell’integrazione. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Teorema della rappresentazione di Riesz di funzionali linerari e positivi. Densità delle funzioni continue. Diseguaglianze di Jensen, Holder e Minkowski. Spazi Lp. Approfondimenti delle misure in spazi prodotto e teoremi di Fubini e Tonelli. Approfondimenti delle misure a valori complessi, teorema di Radon-Nikodym. I duali di Lp. Funzione massimale e derivazione di misure. Cambiamento di variabile. Punti di Lebesgue, derivabilità quasi ovunque delle funzioni monotone. Approfondimenti delle funzioni assolutamente continue e teorema fondamentale del calcolo integrale. Trasformata di Fourier in L1 e L2. Approfondimenti dell’analisi funzionale: Spazi di Hilbert: proiezioni su di un convesso, teorema di rappresentazione dei funzionali lineari continui, sistemi ortonormali, diseguaglianza di Bessel, serie di Fourier. Spazi di Banach: teorema di Hahn Banach, dell’applicazione aperta, del grafico chiuso.