Il corso intende fornire allo studente concetti, modelli e strumenti matematici fondamentali della Meccanica Quantistica, partendo dalla formulazione hamiltoniana della Meccanica Classica. In tal modo si intendono fornire metodologie e competenze di base e nello stesso tempo stimolare curiosità e motivazioni per approfondire lo studio in questo ambito della Fisica Matematica.
Programma
Richiami di meccanica hamiltoniana: parentesi di Poisson; trasformazioni canoniche; equazione di Hamilton-Jacobi; variabili angolo-azione, invarianti adiabatici per particella in potenziale coulombiano. Regole di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld-Ehrenfest. Formulazione matriciale della meccanica quantistica (Heisenberg-Born-Jordan). Regole di commutazione di Heisenberg e formulazione operatoriale (Dirac). Esperimento di Stern-Gerlach. Stati puri, stati misti. Rappresentazioni, trasformazioni unitarie, dinamica negli schemi di Heisenberg e Schroedinger e loro equivalenza. Equazione di Schrödinger. Stati stazionari. Rappresentazioni nello spazio delle coordinate e degli impulsi. Regole di indeterminazione di Heisenberg. Diffrazione ed interferenza. Problemi 1-dim. Operatori chiusi, hermitiani, (essenzialmente) autoaggiunti e criteri relativi (spettro e funzione spettrale). Sviluppo spettrale ed autorappresentazioni di x,p. Gruppi ad un parametro di operatori unitari, teoremi di Stone e von Neumann. Teoremi di Kato e Kato-Rellich, e stabilità dei sistemi atomici. Sistemi completi di osservabili che commutano. Rappresentazioni dell’algebra del momento angolare; armoniche sferiche. Atomo di idrogeno.
Risultati dell’apprendimento
attesi
Al termine dell’insegnamento, lo studente deve dimostrare di
comprendere e conoscere le problematiche generali relative alla modellizzazione matematica dei sistemi in ambito quantistico;
saper applicare le conoscenze di carattere teorico acquisite per la comprensione e la risoluzione di alcuni semplici modelli (metodologie e competenze algebrico-analitiche essenziali) in ambito della Meccanica Quantistica;
saper comunicare in maniera chiara, rigorosa ed efficace idee e soluzioni a interlocutori specialisti e non specialisti;
saper individuare i metodi più appropriati per analizzare e risolvere un problema inerente gli argomenti del corso e interpretare correttamente i risultati.
Risultati di apprendimento
che si intende verificare
Correttezza, completezza e chiarezza nell’esposizione orale degli argomenti inerenti l’insegnamento. Capacità di effettuare i passaggi matematici necessari per le dimostrazione di teoremi o per determinare risultati quantitativi in modelli.
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