Il corso intende presentare un’introduzione alla geometria riemanniana, fornire le nozioni e le tecniche di base (principalmente di tipo analitico) e discutere alcuni dei teoremi fondamentali, con particolare attenzione alle relazioni tra curvatura e topologia.
Programma
Richiami di calcolo tensoriale. Metriche riemanniane. La connessione di Levi-Civita e la derivata covariante. Il tensore di Riemann. Teoria delle geodetiche, mappa esponenziale e applicazioni. Cenni di teoria delle sottovarietà. Funzioni distanza. Teoremi di confronto. Relazioni tra curvatura e topologia. Teoremi di splitting/soul. Varietà a curvatura positiva.
Risultati dell’apprendimento
attesi
Al termine dell’insegnamento, lo studente deve dimostrare di
conoscere e comprendere i concetti e gli strumenti di base della disciplina;
saper applicare le conoscenze acquisite per affrontare problemi sulle varietà;
saper comunicare in maniera chiara, rigorosa ed efficace idee e soluzioni a interlocutori specialisti e non specialisti;
saper individuare i metodi più appropriati per analizzare e risolvere un problema inerente gli argomenti del corso e interpretare correttamente i risultati.
Risultati di apprendimento
che si intende verificare
Padronanza delle conoscenze, chiarezza nell’esposizione, rigore nell’uso del linguaggio, disinvoltura nell’uso delle nozioni acquisite.
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