Il fine del corso è di fornire un’introduzione alla geometria algebrica. Di fornire, poi, gli strumenti fondamentali per lo studio delle varietà algebriche e degli schemi affini, discutere i risultati più importanti, e illustrare le principali tecniche di dimostrazione e di risoluzione dei problemi.
Programma
Spazio affine e chiusi algebrici. Topologia di Zariski e sue proprietà. Insiemi riducibili ed irriducibili. Anelli Noetheriani e teorema della base di Hilbert. Spazi topologici Noetheriani e corrispondenza tra chiusi e ideali. Radicale e teorema degli zeri di Hilbert. Varietà algebriche affini. Anello delle coordinate e dimensione di una varietà algebrica. Altezza, dimensione di Krull e grado di trascendenza. Lemma di Gauss e anelli fattoriali. Anelli graduati e varietà proiettive. Anelli locali, localizzazioni e funzioni regolari. Morfismi, morfismi dominanti e proprietà delle fibre di un morfismo. Insiemi costruibili. Morfismi finiti e proiezioni. Punti regolari e spazio tangente. Anelli locali regolari e spazio cotangente di Zariski. Derivazioni su un modulo. Prefasci, fasci e morfismi tra essi. Fascificazione di un prefascio. Monomorfismi ed epimorfismi di fasci. Nucleo ed immagine di un morfismo di fasci. Spazi localmente anellati. Spettro di un anello. Schemi affini. Esempi di schemi affini.
Risultati dell’apprendimento
attesi
Al termine dell’insegnamento, lo studente deve dimostrare di
conoscere e comprendere il linguaggio della geometria algebrica ed aver acquisito una conoscenza di base sugli argomenti esposti nel corso;
saper applicare le conoscenze acquisite allo studio e alla risoluzione di esempi concreti, utilizzando correttamente le tecniche dimostrative;
saper comunicare in maniera chiara, rigorosa ed efficace idee e soluzioni a interlocutori specialisti e non specialisti;
saper individuare i metodi più appropriati per analizzare e risolvere un problema inerente gli argomenti del corso e interpretare correttamente i risultati.
Risultati di apprendimento
che si intende verificare
Conoscenze e competenze acquisite sui temi del corso, la capacità di esposizione e proprietà di linguaggio dello studente, l’abilità nell’applicare le conoscenze acquisite alla soluzione di semplici problemi, la capacità di integrare una discussione con esempi e controesempi, la padronanza degli strumenti matematici utilizzati nel corso.
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