Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali

Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali

Crediti

6

Propedeuticità

Nessuna.

Settore scientifico-disciplinare

MAT/05 Analisi Matematica.

Modalità dell’esame

Prova orale.

Obiettivi
formativi

Il corso intende fornire gli elelmenti di base della teoria classica delle equazioni di Poisson, del calore e delle onde e un’introduzione abbastanza dettagliata alle funzioni di Sobolev e alla teoria delle soluzioni deboli delle equazioni ellittiche.

Programma

Equazione di Laplace: soluzione fondamentale e potenziale newtoniano. Funzioni armoniche: teorema della media, principio del massimo, teorema di Liouville, disuguaglianza di Harnack, lemma di Weyl, e analiticità delle funzioni armoniche. Unicità delle soluzioni dei problema di Dirichlet e di Neumann. La funzione di Green. Calcolo esplicito della funzione di Green nel semispazio e nella palla. Il principio di Dirichlet. Equazione del calore: soluzione fondamentale, teorema della media e principio del massimo. Unicità e unicità nel passato. Metodi energetici. Equazione del trasporto. Equazione delle onde. Formula risolutiva in dimensione 1, 2 e 3. Cono caratteristico e velocità finita di propagazione. Metodi energetici. Il metodo di separazione delle variabili e sua applicazione alla risoluzione dell’equazioni di Poisson, del calore e dei mezzi porosi. Trasformata di Fourier e applicazioni alla risoluzione dell’equazione di Poisson, del calore, delle onde e del telegrafo. Trasformata di Laplace e applicazioni. Spazi di Sobolev: definizioni e prime proprietà, H=W, approssimazione con funzioni regolari, domini di estensione, tracce, immersioni e immersioni compatte, disuguaglianza di Poincaré. Soluzione debole di un’equazione ellittica. Esistenza delle soluzioni deboli e loro regolarità. Operatori compatti. Teoria di Fredholm. Autovalori e spettro di un operatore compatto. Autovalori del laplaciano.

Risultati dell’apprendimento
attesi

Al termine dell’insegnamento, lo studente deve dimostrare di

  • conoscere e comprendere la classificazione e le principali caratteristiche delle equazioni differenziali alle derivate parziali nonché le tecniche per il calcolo delle relative soluzioni;
  • saper applicare le conoscenze acquisite allo studio e alla risoluzione di esempi concreti, utilizzando correttamente le tecniche dimostrative;
  • saper comunicare in maniera chiara, rigorosa ed efficace idee e soluzioni a interlocutori specialisti e non specialisti;
  • saper individuare i metodi più appropriati per analizzare e risolvere un problema inerente gli argomenti del corso e interpretare correttamente i risultati.

Risultati di apprendimento
che si intende verificare

Padronanza delle conoscenze, chiarezza nell’esposizione, rigore nell’uso del linguaggio, disinvoltura nell’uso delle nozioni acquisite.