Obiettivi principali del corso sono la capacità di impostare lo studio di modelli fisico-matematici in un ambito costituito da spazi di funzioni, di analizzare le proprietà più rilevanti di questi spazi, di affrontare tale studio con gli strumenti acquisiti.
Programma
Cenni a modelli fisico-matematici. Richiami sugli spazi vettoriali e topologici. Compattezza. Spazi normati e loro completamento. Criteri di compattezza in spazi di funzioni. Compattezza e caratterizzazione degli spazi finitodimensionali. Problemi di punto fisso e teorema di Leray-Schauder. Applicazioni alle equazioni differenziali ordinarie non-lineari. Funzionali di Minkowski. Estensione di funzionali lineari. Separazione di insiemi convessi. Spazi vettoriali topologici. Identità tra spazi localmente convessi e spazi con topologia generata da famiglie di seminorme. Spazi di Banach. Topologie deboli e deboli star e criteri di compattezza. Minimizzazione di funzionali convessi. Applicazioni a problemi del calcolo delle variazioni. Spazi di operatori lineari. Principi di uniforme limitatezza, dell’applicazione aperta e del grafico chiuso. Operatori a rango chiuso. Operatori semifredholmiani. Operatori compatti. Operatori di tipo Riesz. Aggiunto di un operatore. Relazioni di complementarità. Operatori fredholmiani. Indice. Spettro. Indice e spettro di un operatore di tipo Riesz. Spazi hilbertiani e proiezioni. ortogonali. Rappresentazione di funzionali lineari. Diagonalizzabilità di operatori compatti autoaggiunti. Applicazioni all’equazione delle onde e all’equazione del calore.
Risultati dell’apprendimento
attesi
Al termine dell’insegnamento, lo studente deve dimostrare di
conoscere e comprendere il linguaggio proprio della disciplina nonché le problematiche generali relative agli argomenti del corso;
saper applicare le conoscenze acquisite allo studio e alla risoluzione di esempi concreti, utilizzando correttamente le tecniche dimostrative;
saper comunicare in maniera chiara, rigorosa ed efficace idee e soluzioni a interlocutori specialisti e non specialisti;
saper individuare i metodi più appropriati per analizzare e risolvere un problema inerente gli argomenti del corso e interpretare correttamente i risultati.
Risultati di apprendimento
che si intende verificare
Padronanza delle conoscenze, chiarezza nell’esposizione, rigore nell’uso del linguaggio, disinvoltura nell’uso delle nozioni acquisite.
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